Rheology Physics

粘弾性とはどのような性質なのでしょうか．粘弾性は，粘性と弾性の両方を併せ持つ性質，と言われることがありますが，この説明は正確ではありません．（例えば塑性でも粘性と弾性の両方を示します．） 粘弾性は，「分子の熱運動による緩和が応力の緩和として観測される現象」です．図１のように，階段状のひずみを与える実験（「応力緩和実験」と呼びます）を行うと系は平衡状態から外れた非平衡状態となり，分子の熱運動によって時間とともに平衡状態に戻っていきます．この様子が応力の時間変化として観測できると，時間とともに応力が減衰します．これが粘弾性です．変形開始直後の挙動は弾性ですが，時間を経るに従って徐々に粘性を示すように見えるので，粘弾性と呼ばれます． 図１　変形後の緩和現象 上記の緩和現象はどのように記述されるでしょうか．以下のような仮定のもとでは指数関数で表すことができます．仮定１：加える変形の大きさ（ひずみ）と，励起される分子の数は比例する．　仮定２：励起している成分の数と応力は比例する．　仮定３：各分子は独立に緩和する．　励起した分子の数を$[A*]$，平衡状態（励起される前の状態）にある分子の数を$[A]$とします．仮定３に基づけば，A*からAへの遷移は一次の反応速度式で書くことができます．つまり$[A*]\rightarrow[A]$ です．反応速度定数を$k$とすれば，$d[A*]/dt = -k[A*]$となりますので，$[A*]=[A*]_0 \exp(-kt)$となります．$[A*]_0$は$t=0$のときの$[A*]$です．ここで仮定２をつかって，$[A*]_0=\gamma[A*]_{00}$と書くことにします．$\gamma$は与えた歪みの大きさです．また，$k$は時間の逆数ですから，$\tau=1/k$とすれば，$[A*]=\gamma[A*]_{00} \exp(-t/\tau)$となります．最後に仮定１を使って，$\sigma\propto[A*]$とし，また$\sigma=G\gamma$とすると，$\sigma(t)/\gamma=G\exp(-kt)$となります．$\sigma(t)/\gamma=G(t)$と定義しますと（これを緩和弾性率といいますが）$G(t)=G\exp(-kt)$が得られます． 緩和の様子を模式的に図２に示しました．緩和が単一指数関数で書かれることはあまり多くありません．AからA*に至る緩和のルートが単一ではないことが多いためです．それぞれの緩和ルートが独立であると仮定すると，緩和挙動は指数関数の線形和として$G(t)=\sum_i G_i \exp(-t/\tau_i)$のように書くことができます． 粘弾性は「緩和弾性率」で評価し，「緩和スペクトル」で定量化します．$G(t)=\sum_i G_i \exp(-t/\tau_i)$のパラメーターGitiは「緩和強度」，「緩和時間」と呼ばれます．ひとまとめにして「緩和スペクトル」と呼ばれます．（正確には，緩和時間の分布を連続化したときの強度分布が緩和スペクトルです．） 図２　応力緩和実験と緩和弾性率   緩和スペクトルには分子や構造の熱運動を知る手がかりになる情報がたくさん含まれています．例えばtiのうちで最も大きなもの（tiは慣例で長いものから順に番号をつけるのでt1）は「最長緩和時間」と呼ばれ，系に含まれる最も遅い運動を特徴付ける時間です．均一系であれば，分子の重心が分子の広がりと同程度の距離を熱運動で移動するのに必要な時間に相当します． しかし，緩和スペクトル$\{G_i,\tau_i\}$そのものを決めることには意味はありません．図２の緩和関数を指数関数でフィッティングする問題はill-posedです．つまり，唯一解を持たない問題です．したがって，$G_i$や$\tau_i$そのものではなく，緩和の概形を定量化するために，統計量を評価します．表１に示すように，分子量分布との対応で考えると分かりやすいでしょう．これらの量は，別に述べる動的粘弾性試験を行うと，作図で容易に評価することができます． 表１　緩和時間分布と分子量分布：統計量の対応

レオロジーでは物質の変形と応力の関係を議論します． 変形は多様で任意性があり，本来は２階のテンソルで表す量です．ここでは液体や等方的な固体を扱うものとして，せん断変形と一軸伸長変形だけを考えます．（この２つの変形を知っておけばレオロジーの論文の９割以上は読めます．） 図１　一軸伸長変形（左）とせん断変形（右） 図１にそれぞれの変形を示します．中央の立方体を変形させたとき，左側のように伸ばすのが一軸伸長，右側のようにずらすのがせん断変形です．変形量を表すひずみの定義も示しています．変形が変わるとひずみの定義がかわることに注意が必要です．また．ひずみに関する材料力学の定義とレオロジーの定義は違います．変形量が小さければどちらも同じですが，大変形する場合はレオロジーの定義でないと正しく評価できません．なお，ひずみには単位はありません． 変形を与えるには物質に外力を与える必要があります．応力は，この変形に必要な外力と，評価にかかる面から定義される２階のテンソルです．図２には伸長応力とせん断応力を示します．応力は力を面積で割っているので，その単位はN/m$^2$となり．これをPa（パスカル）といって圧力と同じになります． 図２　一軸伸長応力（左）とせん断応力（右） 上記２で定義された変形量（ひずみ）と応力の関係から，弾性率と粘度が定義されます． まず弾性率ですが，応力をひずみで割ったものとして定義します．伸長変形の場合であれば$E=\sigma_E/\epsilon$，せん断変形の場合であれば$G=\sigma_{xy}/\gamma$です．いずれもバネのばね定数に相当するものと考えればわかりやすいと思います．単位は応力と同じくPa（パスカル）となります．なお，同じ物質であっても変形様式が違うので値が違います．非圧縮性の物質では（かつ変形が小さければ）$E=3G$となります．なお，$E$はヤング率，$G$はせん断弾性率あるいは剛性率と呼ばれます．弾性率は，応力が変形量に比例する場合に意味をもつ量です．変形量が小さければどのような固体でも応力は変形量に比例します．このように応力が変形量に比例する物質をフック弾性体と呼びます．しかし多くの物質は，大変形になると図３のように破壊したり降伏したりします．このような非線形の挙動を扱う場合は，弾性率はあまり便利ではありません．なお，液体では弾性率は０となります． 次に粘度ですが，応力をひずみ速度で割ったものとして定義します．伸長変形の場合であれば$\eta_E=\sigma_E/\dot{\epsilon}$，せん断変形の場合であれば$\eta=\sigma_{xy}/\dot{\gamma}$です．ここで$\dot{\epsilon}$と$\dot{\gamma}$は，$\epsilon$と$\gamma$の時間微分（変化率）を表します．単位はPas（パスカルセカンド）となります．弾性率と同じく，同じ物質であっても変形様式が違えば値が違います．非圧縮性の物質では（かつ変形速度が小さければ）$\eta_E=3\eta$となります．変形速度が小さければどのような液体でも応力は変形量に比例します．このように応力が変形速度に比例する物質をニュートン流体と呼びます．しかし大変形速度になると図３のように応力が非線形に振舞います．このような物質は非ニュートン流体と呼ばれます．なお，固体は流動しないため，流動速度がゼロとなりますので，粘度は無限大となります 図３　弾性率（左）と粘度（右） 上記の弾性率と粘度の定義は，定常状態でのものであることに注意が必要です．すなわち，弾性率での議論では，ひずみを与えたのちに十分に長時間経過したときの応力が図３の縦軸です．粘度の議論では，ひずみ速度が一定の流動を十分に長時間与えた時に観察される応力が図３の縦軸です． 弾性率や粘度のデータを見るときは，身近な物質の値を知っておくと感覚的な理解ができます．弾性率ですが，人間の骨が$10^{10}$Pa，人間の肉は$10^5$Paと大雑把に覚えておくとよいと思います．また粘度については常温の水が1mPasです．